Question

【題目】已知函數．

當時，討論函數的單調性；

求函數在區(qū)間上零點的個數．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) 當時，在區(qū)間上有2個零點；時，在區(qū)間上有1個零點.

【解析】

分析：（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區(qū)間，求得的范圍，可得函數的減區(qū)間；(2)當時，在單調遞增在區(qū)間上有一個零點；當時，在單調遞增，在區(qū)間上有一個零點；當時，在單調遞增，在區(qū)間上有一個零點；時，時，在單調遞增，在上單調遞減，在區(qū)間上有一個零點；時，在區(qū)間上有零點和在區(qū)間有一個零點共兩個零點.

詳解：（1）∵

當時，，此時在單調遞增；

當時，

①當時，，恒成立，

∴，此時在單調遞增；

②當時，令，

	+	0	-	0	+
	↗		↘		↗

即在和上單調遞增；

在上單調減；

綜上：當時，在單調遞增；

當時，在和上單調遞增；

在上單調遞減；

（2）由（1）知，

當時，在單調遞增，，此時在區(qū)間上有一個零點；

當時，且，∴在單調遞增；，此時在區(qū)間上有一個零點；

當時，令（負值舍去）

①當即時，在單調遞增，，此時在區(qū)間上有一個零點；

②當即時，

若即時，在單調遞增，在上單調遞減，

，此時在區(qū)間上有一個零點；

若即時，在單調遞增，在上單調遞減，

，此時在區(qū)間上有零點和在區(qū)間有一個零點共兩個零點；

綜上：當時，在區(qū)間上有2個零點；

時，在區(qū)間上有1個零點.