Question

已知定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)f(x)，若當(dāng)0≤θ≤時(shí)，f(cos²θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

Answer 1

　(－，＋∞)

解析　方法一　f(cos²θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0⇒f(cos²θ＋2msin θ)<f(2m＋2)⇒cos²θ＋2msin θ<2m＋2⇒2m(1－sin θ)>－1－sin²θ.

當(dāng)θ＝時(shí)，2m·0>－2，此時(shí)m∈R；

當(dāng)0≤θ<時(shí)，m>令t＝1－sin θ，

則t∈(0,1]，此時(shí)．

設(shè)φ(t)＝－(t＋－2)，

而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(－∞，－]，

故m>－.

方法二　同方法一，求得2m(1－sin θ)>－1－sin²θ，

設(shè)sin θ＝t，則t²－2mt＋2m＋1>0對(duì)于t∈[0,1]恒成立．

設(shè)g(t)＝t²－2mt＋2m＋1，其圖象的對(duì)稱軸方程為t＝m.

①當(dāng)m<0時(shí)，g(t)在[0,1]上單調(diào)遞增，

從而g(0)＝2m＋1>0，即m>－，

又m<0，所以－<m<0.

②當(dāng)0≤m≤1時(shí)，g(t)在[0，m]上單調(diào)遞減，在[m,1]上單調(diào)遞增，

從而g(m)＝m²－2m²＋2m＋1>0，即m²－2m－1<0，

所以1－<m<1＋.

又m∈[0,1]，所以0≤m≤1.

③當(dāng)m>1時(shí)，g(t)在[0,1]上單調(diào)遞減，

從而g(1)＝1－2m＋2m＋1＝2>0恒成立，所以m>1.

綜合①②③，可知m>－.