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8.已知定點(diǎn)A(0,1),直線l1:y=-1交y軸于點(diǎn)B,記過(guò)點(diǎn)A且與直線l1相切的圓的圓心為點(diǎn)C.
(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程;
(2)設(shè)傾斜角為α的直線l2過(guò)點(diǎn)A,交軌跡E于兩點(diǎn)P、Q,交直線l1于點(diǎn)R.若α∈[{\frac{π}{6},\frac{π}{4}}],求|PR|•|QR|的最小值.

分析 (1)由已知可得,點(diǎn)C的軌跡是以A為焦點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線,由此能求出軌跡E的方程.
(2)設(shè)直線l2的方程為y=kx+1,與拋物線C方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),易求R點(diǎn)坐標(biāo),由弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理把|PR|•|QR|表示出來(lái),可得關(guān)于k的函數(shù),由α∈[{\frac{π}{6},\frac{π}{4}}],得k的范圍,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得|PR|•|QR|的最小值.

解答 解:(1)由已知可得,點(diǎn)C的軌跡是以A為焦點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線,
∴軌跡E的方程為x2=4y.…(4分)
(2)設(shè)直線l2的方程為y=kx+1,代入拋物線方程x2=4y消去y,得x2-4kx-4=0.
記P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=-4.
因?yàn)橹本€l2的斜率k≠O,易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-\frac{2}{k},-1).
|AR|•|BR|=\sqrt{1+{k}^{2}}|x1-xR|•\sqrt{1+{k}^{2}}|x2-xR|
=(1+k2)•(x1+\frac{2}{k})(x2+\frac{2}{k})=(1+k2) x1 x2+(\frac{2}{k}+2 k)( x1+x2)+\frac{4}{{k}^{2}}+4
=-4(1+k2)+4k(\frac{2}{k}+2k)+\frac{4}{{k}^{2}}+4=4(k2+\frac{1}{{k}^{2}})+8,
α∈[{\frac{π}{6},\frac{π}{4}}],∴k∈[\frac{\sqrt{3}}{3},1],k2∈[\frac{1}{3},1],
令t=k2,∵f(t)=4(t+\frac{1}{t})+8在[\frac{1}{3},1]上遞減,
所以|PR|•|QR|的最小值為16.

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用,考查函數(shù)思想,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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②0•\vec a=0;
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⑤若\vec a\vec 0,則對(duì)任一非零\vec b\vec a\vec b≠0;
\vec a\vec b=0,則\vec a\vec b中至少有一個(gè)為\vec 0;
⑦對(duì)任意向量\vec a,\vec b\vec c都有(\vec a\vec b)•\vec c=\vec a•(\vec b\vec c);
\vec a\vec b是兩個(gè)單位向量,則\vec a2=\vec b2
其中正確的是③⑧(把正確的序號(hào)都填上)

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