Question

已知f(x)=

a2x-1

2x+1

(a∈R)，是R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函數(shù)；
（3）對任意的k∈（0，+∞）解不等式f-1(x)＞log2

1+x

k

．

Answer 1

分析：（1）由題知奇函數(shù)在R上有定義，故圖象過原點，所以f（0）=0，解得a=1；
（2）令y=

a2x-1

2x+1

(a∈R)，依據(jù)反函數(shù)的定義解出f（x）的反函數(shù)的表達式．
（3）由（2）知f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)由此知兩邊底數(shù)一致，故可以用相關函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化．

解答：解：（1）由題知f（0）=0，得a=1，
此時f(x)+f(-x)=

2x-1

2x+1

+

2-x-1

2-x+1

=

2x-1

2x+1

+

1-2x

1+2x

=0，
即f（x）為奇函數(shù)．
（2）∵y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，得2x=

1+y

1-y

(-1＜y＜1)，
∴f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)．
（3）∵f-1(x)＞log2

1+x

k

，∴

1+x 1-x ＞ 1+x k -1＜x＜1

，∴

x＞1-k -1＜x＜1

，
①當0＜k＜2時，原不等式的解集{x|1-k＜x＜1}，
②當k≥2時，原不等式的解集{x|-1＜x＜1}．

點評：本題考點是反函數(shù)，考查反函數(shù)解析式的求法以及解對數(shù)不等式，反函數(shù)的求法用反函數(shù)的定義，解對數(shù)不等式要根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化．