Question

記動點P是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁上一點，記

D1P

D1B

=λ．當∠APC為鈍角時，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意易知∠APC不可能為平角，則∠APC為鈍角等價于cos∠APC=cos＜

PA

，

PC

＞=

PA • PC

| PA |•| PC |

＜0，即

PA

•

PC

＜0，再將

PA

，

PC

用關于λ的字母表示，根據向量數量積的坐標運算即可

解答：解：由題設可知，以

DA

、

DC

、

DD1

為單位正交基底，
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由

D1B

=(1，1，-1)，得

D1P

=λ

D1B

=(λ，λ，-λ)，所以

PA

=

PD1

+

D1A

=(-λ，-λ，λ)+(1，0，-1)=(1-λ，-λ，λ-1)

PC

=

PD1

+

D1C

=(-λ，-λ，λ)+(0，1，-1)=(-λ，1-λ，λ-1)
顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC=cos＜

PA

，

PC

＞=

PA • PC

| PA |•| PC |

＜0，則等價于

PA

•

PC

＜0
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

1

3

＜λ＜1
因此，λ的取值范圍是(

1

3

，1)

點評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于基礎題．