【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為8的菱形，，是等邊三角形，二面角的余弦值為.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面夾角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)見證明(Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）通過幾何關(guān)系得到平面進(jìn)而得到異面直線垂直；（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系得到直線的方向向量和面的法向量，進(jìn)而得到線面角.

（Ⅰ）連接交于點O.

因為四邊形是菱形，所以，且和互相平分.

又因為，O為的中點，所以，

又因為，所以平面.

因為平面，所以.

（Ⅱ）過點作交點為，因為平面，所以，

因為，所以平面.

易知為二面角的平面角，所以，.

又因為，所以和都是邊長為8的等邊三角形.

所以，則，.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，則，

即，則.

所以，

所以直線與平面夾角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．

（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某小區(qū)打算將如圖的一直三角形區(qū)域進(jìn)行改建,在三邊上各選一點連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀.已知,,則區(qū)域內(nèi)面積(單位：)的最小值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求實數(shù)取值的集合；

（2）證明：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為研究男、女生的身高差異，現(xiàn)隨機(jī)從高二某班選出男生、女生各10人，并測量他們的身高，測量結(jié)果如下（單位：厘米）：

男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170

女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172

（1）根據(jù)測量結(jié)果完成身高的莖葉圖（單位：厘米），并分別求出男、女生身高的平均值.

（2）請根據(jù)測量結(jié)果得到20名學(xué)生身高的中位數(shù)（單位：厘米），將男、女生身高不低于和低于的人數(shù)填入下表中，并判斷是否有的把握認(rèn)為男、女生身高有差異？

人數(shù)

男生

女生

身高

身高

參照公式：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

.024

6.635

7.879

10.828

（3）若男生身高低于165厘米為偏矮，不低于165厘米且低于175厘米為正常，不低于175厘米為偏高.假設(shè)可以用測量結(jié)果的頻率代替概率，試求從高二的男生中任意選出2人，恰有1人身高屬于正常的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知F1，F2分別是橢圓C：1（＞b＞0）的左、右焦點，過F2且不與x軸垂直的動直線l與橢圓交于M，N兩點，點P是橢圓C右準(zhǔn)線上一點，連結(jié)PM，PN，當(dāng)點P為右準(zhǔn)線與x軸交點時有2PF2＝F1F2．

（1）求橢圓C的離心率；

（2）當(dāng)點P的坐標(biāo)為（2，1）時，求直線PM與直線PN的斜率之和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點、在橢圓上，且四邊形是矩形，求矩形的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列四個命題

①已知為橢圓上任意一點，，是橢圓的兩個焦點，則的周長是8；

②已知是雙曲線上任意一點，是雙曲線的右焦點，則；

③已知直線過拋物線的焦點，且與交于，，，兩點，則；

④橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點，是它的焦點，長軸長為，焦距為，若靜放在點的小球（小球的半徑忽略不計）從點沿直線出發(fā)則經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點時，小球經(jīng)過的路程恰好是．

其中正確命題的序號為__（請將所有正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面上的線段及點，任取上一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作.請你寫出到兩條線段，距離相等的點的集合，，，其中，，，，，是下列兩組點中的一組．對于下列兩種情形，只需選做一種，滿分分別是① 3分；② 5分．① ，，，；② ，，，．你選擇第_____種情形，到兩條線段，距離相等的點的集合_____________.

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