Question

四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)有BE⊥PC于E，且BE=

6

3

a．
（1）試在AB上找一點(diǎn)F，使EF∥平面PAD．
（2）在平面PAD上是否存在一點(diǎn)G，使GE⊥PBC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）過(guò)E作EG∥CD交PD于G，連接AG，在AB上取點(diǎn)F，使AF=EG，要證明EF∥平面PAD，只需證明FE∥AG即可；然后確定F的位置；
（2）由P向AH作垂線交AD于I，在△PIC中過(guò)E作PC的垂線交PI于G點(diǎn)，則EG⊥PC，利用線面垂直的判定定理PI⊥平面AHEB，進(jìn)而可知PI⊥BE，進(jìn)而根據(jù)BE⊥PC由線面垂直的判定證明出BE⊥平面PIC，進(jìn)而證明出平面PBC⊥平面PIC，最后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明出GE⊥PBC．

解答： 解：（1）在平面PCD內(nèi)，過(guò)E作EH∥CD交PD于H，連接AH，在AB上取點(diǎn)F，使AF=EH，則F即為所求作的點(diǎn)．
∵EH∥CD∥AF，EH=AF，
∴四邊形FEHA為平行四邊形，
∴FE∥AH．
又AH?平面PAD，F(xiàn)E?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，CE=

BC2-BE2

=

3

3

a．
在Rt△PBC中，BC²=CE•CP
∴CP=

3

a．
又

EH

CD

=

PE

PC

，
∴EH=

PE

PC

•CD=

2

3

a，
∴AF=EH=

2

3

a．
∴點(diǎn)F為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)．

（2）存在，
由P向AH作垂線交AD于I，在△PIC中過(guò)E作PC的垂線交PI于G點(diǎn)，則EG⊥PC，
證明如下；
∵PA⊥AB，AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∵PI?平面PAD，
∴AB⊥PI，
∵PI⊥AH，AH?平面AHEB，AB?平面AHEB，AB∩AH=A，
∴PI⊥平面AHEB，
∵BE?平面AHEB，
∴PI⊥BE，
∵BE⊥PC，PC?平面PIC，PI?平面PIC，PC∩PI=P，
∴BE⊥平面PIC，
∵BE?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PIC，
∵平面PBC∩平面PIC=PC，BG⊥PC，
∴BG⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定．考查學(xué)生的邏輯思維能力和空間觀察能力．第二問(wèn)中作出與平面PBC垂直的面PIC時(shí)解題的關(guān)鍵，往常需要作出與面垂直的輔助線，這次需作出與之垂直的面，難度較大．