Question

已知函數(shù)f（x）=log

1

2

(x2-2ax+4)，
（1）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，f（x）在[1，+∞）上有意義．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的值域

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程的判別式大于等于0得答案；
（2）把f（x）在[1，+∞）上有意義轉(zhuǎn)化為2a＜x+

4

x

對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，借助于不等式求出x+

4

x

在x∈[1，+∞）上的最小值得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log

1

2

(x2-2ax+4)的值域?yàn)镽，
則x²-2ax+4能夠取得大于0的所有實(shí)數(shù)，即
△=（-2a）²-4×1×4≥0，解得：a＜-2或a＞2．
∴a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）；
（2）f（x）在[1，+∞）上有意義，即
x²-2ax+4＞0，也就是2a＜x+

4

x

對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，
∴2a＜(x+

4

x

)min
∵x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立）．
∴a＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．