Question

（理做）已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-|x|，
（1）若f（x）=0，求x的值；
（2）若對于t∈[1，2]時，不等式2f（2t）+mf（t）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）首先，化簡f（x）=0，然后，針對a進行討論；
（2）首先，將問題進行等價轉化：得到m≥-（4^t+1）恒成立，也就是m大于或等于-（4^t+1）的最大值-5，最后，得到結果．

解答： 解：（1）f（x）=0，
即2^x-2^-|x|=0，
當x≥0，即2^x-2^-x=0，
化簡，得4^x=1，
∴x=0，
當x＜0，即2^x-2^x=0，
即0=0，恒成立
綜上，x的值（-∞，0]．
（2）2f（2t）+mf（t）=2（22t-

1

22t

+m(2t-

1

2t

)≥0，
化簡，得
(2t-

1

2t

)(4t+1+m)≥0，
∵t∈[1，2]，
∴2^t＞

1

2t

，
∴4^t+1+m≥0，
即m≥-（4^t+1）恒成立，
也就是m大于或等于-（4^t+1）的最大值-5，
∴m≥-5，
∴實數(shù)m的取值范圍[-5，+∞）．

點評：本題重點考查了函數(shù)的性質、函數(shù)的單調性和冪的運算性質等知識，屬于中檔題．