Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°，邊長為a的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點M，N分別是棱AD，PC的中點．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）三棱錐A-PBM的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用線面平行的判定定理進行判斷．（2）利用面面垂直的判定定理進行判斷．（3）V_A-PBM=V_P-ABM=

1

3

S_△ABM•PD，代入即可．

解答： 解：（1）證明：取PB中點Q，連結MQ、NQ，
因為M、N分別是棱AD、PC中點，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥MQ MQ⊆平面PMB DN?平面PMB

⇒DN∥平面PMB．
（2）

PD⊥平面ABCD MN⊆平面ABCD

⇒PD⊥MB，
又因為底面ABCD是∠A=60°，邊長為a的菱形，且M為AD中點，
所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD．

MB⊥平面PAD MB⊆平面PMB

⇒平面PMB⊥平面PAD，
（3）V_A-PBM=V_P-ABM=

1

3

S_△ABM•PD=

1

3

•

1

2

•

a

2

•

3 a

2

•a=

3 a3

24

．

點評：本題主要考查直線和平面平行以及面面垂直的判定定理，要求熟練掌握相應的判定定理和應用．