Question

【題目】定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(2)＝，且對(duì)任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）首先令代入到恒等式可求出，再令得到，即命題成立；（2）根據(jù)題意得到函數(shù)為增函數(shù)，將單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合原不等式等價(jià)于，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)的一元二次不等式問(wèn)題，利用分類討論得結(jié)果.

試題解析：(1)證明： ()，①，令，代入①式，得，即，令，代入①式，得，又，則有，即對(duì)任意恒成立，所以是奇函數(shù)．

(2) ，即，又在上是單調(diào)函數(shù)，所以在上是增函數(shù)．

又由(1)知是奇函數(shù)， ，所以對(duì)任意恒成立，令，問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，令，其對(duì)稱軸.

當(dāng)，即時(shí)， ，符合題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意， 恒成立解得，綜上所述，當(dāng)時(shí)， 對(duì)任意恒成立．