Question

14．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜邊BC上的高，沿AD將△ABC折成60°的二面角B-AD-C，如圖2．
（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；
（2）在圖2中，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求異面直線AE與BD所成的角．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥CD，AD⊥BD，從而AD⊥平面BCD，由此能證明平面ABD⊥平面BCD．
（2）取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，由EF∥BD，∠AEF是異面直線AE與BD所成角，由此能求出異面直線AE與BD所成的角．

解答 證明：（1）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當(dāng)折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，
又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD，
∵AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD．
解：（2）取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，由EF∥BD，
∴∠AEF是異面直線AE與BD所成角，
連結(jié)AF、DE，設(shè)BD=2，則EF=1，AD=2$\sqrt{3}$，CD=6，DF=3，
在Rt△ADF中，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
在△BCD中，由題設(shè)知∠BDC=60°，
則BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos60°=28，∴BC=2$\sqrt{7}$，
∴BE=$\sqrt{7}$，∴cos$∠CBD=\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
在△BDE中，DE²=BD²+BE²-2BD•BE•cos∠CBD=13，
在Rt△ADE中，cos∠AEF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AEF=60°，'
∴異面直線AE與BD所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．