Question

如圖所示，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，左焦點為F、A、B、C為其三個頂點，直線CF與AB交于D點，求tan∠BDC的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的離心率得到a，b，c之間的關(guān)系，利用這些關(guān)系表示出∠BAO、∠CFO的正切值，根據(jù)圖得角之間的關(guān)系：∠BDC=∠BAO+∠CFO，利用正切公式求出tan∠BDC的值．

解答： 解：由題意得離心率e=

c

a

=

1

2

，則設(shè)c=k，a=2k（k＞0），
由a²=b²+c²得，b²=a²-c²=3k²，解得b=

3

k，
由圖可知，∠DFA=∠CFO，且∠BDC=∠BAO+∠DFA，
所以∠BDC=∠BAO+∠CFO，
又tan∠BAO=

OB

OA

=

b

a

=

3

2

，tan∠CFO=

OC

OF

=

b

c

=

3

，
則tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）=

tan∠BAO+tan∠CFO

1-tan∠BAOtan∠CFO

=

3 2 + 3

1- 3 2 × 3

=-3

3

，
所以tan∠BDC的值是-3

3

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，兩角和差的正切函數(shù)，由圖得到tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）是解題的難點和關(guān)鍵．