Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+

1

2

x，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意可得2Sn=n2+n，n=1時a₁=1；n≥2時可求得a_n=S_n-S_n-1=n，驗證n=1符合后即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）T_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+（n-1）•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，

1

2

T_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1；利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（I）∵點(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴Sn=

1

2

n2+

1

2

n，即2Sn=n2+n，①
n=1時a₁=1；
n≥2時2Sn-1=(n-1)2+(n-1)，②
故2（S_n-S_n-1）=2n，即a_n=n．
經驗證n=1符合上式，故a_n=n．
（II）∵bn=n(

1

2

)n，
∴T_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+（n-1）•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，
∴

1

2

T_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1；
∴

1

2

T_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1，
∴T_n=2-（n+2）(

1

2

)n．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列通項公式的確定與錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．