Question

對于非零向量

α

，

β

，定義一種向量積：

α

•

β

=

α • β

β • β

．已知非零向量

a

，

b

的夾角θ，∈（0，

π

4

），且

a

•

b

，

b

•

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中．則

a

•

b

=（　　）

• A、

  5

  2

  ，

  3

  2

• B、

  1

  2

  ，

  3

  2

• C、

  5

  2

  ，

  1

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,新定義,平面向量及應(yīng)用

分析：由定義可得，

a

•

b

=

n

2

，同理可得，

b

•

a

=

m

2

，其中m，n均為整數(shù)，將兩式相乘得，cos²θ=

mn

4

，若|

a

|≥|

b|

＞0，則n≥m，由于非零向量

a

，

b

的夾角θ∈（0，

π

4

），則cos²θ∈（

1

2

，1），

mn

4

∈（

1

2

，1），結(jié)合m，n均為整數(shù)，則m=1，n=3，若|

a

|≤|

b

|，同理即可得到m=3，n=1．即可得到答案．

解答： 解：由定義可得，

a

•

b

=

a • b

b • b

=

| a |cosθ

|b |

=

n

2

，
同理可得，

b

•

a

=

b • a

a • a

=

| b |cosθ

| a |

=

m

2

，
其中m，n均為整數(shù)，
將兩式相乘得，cos²θ=

mn

4

，
若|

a

|≥|

b|

＞0，則n≥m，
由于非零向量

a

，

b

的夾角θ∈（0，

π

4

），則cos²θ∈（

1

2

，1），

mn

4

∈（

1

2

，1），結(jié)合m，n均為整數(shù)，則m=1，n=3，
故

a

•

b

=

3

2

，
若|

a

|≤|

b

|，則m≥n，由上面的分析可得，m=3，n=1，
故

a

•

b

=

1

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出新定義，求式子

a

?

b

的值．著重考查了向量數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)和整數(shù)解的討論等知識(shí)，屬于中檔題．