Question

【題目】設是實數(shù)，已知奇函數(shù),

（1）求的值；

（2）證明函數(shù)在R上是增函數(shù);

（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可解得的值,驗證即可得結(jié)論；(2)由（1）的結(jié)論，可得，在已知區(qū)間上任取；作差、變形和定符號、由作差法分析可得結(jié)論；(3)根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析，原不等式可以變形為，進而可得，求得的最小值，即可得結(jié)果.

（1）∵f（x）為R奇函數(shù)，∴f（0）=0，，

解得a=1

（2）由（1）的結(jié)論，，

設，則，

又由，，

則，

則函數(shù)在是增函數(shù).

（3）∵f（x）為奇函數(shù)，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化為

f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），即f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），

又∵f（t）為增函數(shù)，t2﹣2t＜k﹣2t2，∴3t2﹣2t＜k．

當t=﹣時，3t2﹣2t有最小值﹣，∴k>-.