Question

（1）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（3，

π

4

），（4，

π

2

），求它們的直角坐標(biāo)；已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（3，

3

），（0，3），求它們的極坐標(biāo)
（2）把下面的直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程；極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程
①2x-3y-1=0
②ρ=2cosθ-4sinθ

Answer 1

分析：（1）根據(jù)公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，即可算出（3，

π

4

）、（4，

π

2

）兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)形式．利用ρ²=x²+y²算出極徑ρ，由tanθ=

y

x

可得極角θ的值，因此即可得到（3，

3

）、（0，3）的極坐標(biāo)形式；
（2）①直接由公式x=ρcosθ、y=ρsinθ代入，即可得到2x-3y-1=0的極坐標(biāo)方程形式；
②在方程ρ=2cosθ-4sinθ的兩邊都乘以ρ，再用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²化簡(jiǎn)整理，即可得到曲線ρ=2cosθ-4sinθ的直角坐標(biāo)方程．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（3，

π

4

）的直角坐標(biāo)為（x₁，y₁），
∵|OP|=3，θ=

π

4

，
∴x₁=3cos

π

4

=

3 2

2

，y₁=3sin

π

4

=

3 2

2

，可得點(diǎn)（3，

π

4

）的直角坐標(biāo)為(

3 2

2

，

3 2

2

)，
同理可得點(diǎn)Q（4，

π

2

）的直角坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)M（3，

3

）的極坐標(biāo)為（ρ₁，θ₁），可得
ρ12=

33+( 3 )2

=2

3

，tanθ₁=

3

3

得θ₁=

π

6

∴M（3，

3

）的極坐標(biāo)為(2

3

，

π

6

)，
同理可得N（0，3）的極坐標(biāo)為(3，

π

2

)
（2）①∵曲線的直角坐標(biāo)方程為2x-3y-1=0，
∴將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得2ρcosθ-3ρsinθ-1=0，即為曲線的極坐標(biāo)方程；
②∵曲線的極方程為ρ=2cosθ-4sinθ
∴兩邊都乘以ρ，得ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²
∴x²+y²=2x-4y，化簡(jiǎn)整理得（x-1）²+（y+2）²=5，即為曲線的直角坐標(biāo)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題給出極坐標(biāo)方程要求化成直角坐標(biāo)形式，給出直角坐標(biāo)方程要求化成直角坐標(biāo)形式．著重考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式和直角與圓的方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．