Question

若函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，非零向量

m

=（a，b），則稱

m

為f（x）的“相伴向量”，f（x）為

m

的“相伴函數(shù)”
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2（ω≥0）的最小正周期為2π，求f（x）的“相伴向量”

m

的模；
（Ⅱ）向量

n

=(n，1)的“相伴函數(shù)”為g（x），且

n

與（1）中

m

滿足

n

•

m

=1+

3

．將g（x）圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)2倍，再將圖象向左平移

2π

3

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)h（x），若h(2α+

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，求sinα．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將f（x）利用基本關(guān)系式以及倍角公式化簡(jiǎn)，得到a，b；
（Ⅱ）由題意得到g（x）的解析式，根據(jù)變換，得到h（x），由三角函數(shù)值求sinα．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx，
所以f(x)=

2

sin(2ωx+

π

4

)，依題意

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

∴

m

=(1，1)
（Ⅱ）依題意因?yàn)橄蛄?span id="y99p9dk" class="MathJye">

n

=(n，1)的“相伴函數(shù)”為g（x），

n

•

m

=1+

3

．
所以g(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)
∴h(x)=2sin(

1

2

x+

π

2

)故h(2α+

π

3

)=

6

5

π∴cos(α+

π

6

)=

4

5

∴sinα=

4 3 -3

10

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)、向量的坐標(biāo)表示、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查創(chuàng)新思維能力、推理論證能力、閱讀理解能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想及應(yīng)用意識(shí)．