Question

【題目】編輯如下運算程序：，，．

（1）設數(shù)列{}的各項滿足，求；

（2）由（1）猜想{}的通項公式；

（3）用數(shù)學歸納法證明你的猜想。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意：，，，所以可以得到，令，于是得到：，再令，得到，再令，得到，所以根據(jù)可以得到：，，，；（2）由（1）得到的，，，，…，于是可以猜想得到數(shù)列的通項公式為；（3）當n=1時，，命題成立，假設當n=k（k≥1）時命題成立，即，那么需要驗證當n=k+1時，命題也成立，

，所以當n=k+1時，命題也成立，則對一切命題都成立。所以問題得證。

試題解析：（1），令，則；由，，得

再令，則，得

再令，則，得

（2）由（1）猜想：

（3）證明：①當時，，另一方面，，所以當時等式成立．

②假設當時，等式成立，即，此時，

那么，當時

所以當時等式也成立．

由①②知，等式對都成立，猜想正確，即．