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已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；
（2）點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于,兩點，問：△的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．
（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）根據點在曲線上可代入方程，再根據橢圓中，解方程組可得的值。從而可得橢圓方程。法二，還可根據橢圓的定義橢圓上點到兩焦點的距離為直接求得，再根據求。（2）設的方程為，根據與圓相切可得間的關系。再將直線與橢圓方程聯立消掉整理為關于的一元二次方程，可得根與系數的關系。由直線與圓錐曲線的相交弦公式可得，再根據兩點間距離可求，將三邊長相加，根據前邊得到的間的關系問題即可得證。
試題解析：（1）『解法1』：
(1)由題意，得，2分
解得4分
∴橢圓方程為.5分
『解法2』：
右焦點為，
左焦點為，點在橢圓上

所以，
所以橢圓方程為5分
（2）『解法1』：
由題意，設的方程為
∵與圓相切
∴，即6分
由，得7分
設，則，8分
∴
10分
又
 

∴11分
∴（定值）12分
『解法2』：
設，

8分
連接，由相切條件知：

10分
同理可求
所以為定值.12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應的圓Q的標準方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點，線段AB的中點為M,直線：交橢圓E于C,D兩點.

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線上；
（3）是否存在實數k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，有一個頂點為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線與橢圓交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線與直線相交于A、B兩點，其中A點的坐標是(1，2)。如果拋物線的焦點為F，那么等于（    ）
A． 5         B．6            C．     D．7

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率e＝，一條準線方程為x＝
(1)求橢圓C的方程；
(2)設G、H為橢圓C上的兩個動點，O為坐標原點，且OG⊥OH.
①當直線OG的傾斜角為60°時，求△GOH的面積；
②是否存在以原點O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

以下幾個命題中:其中真命題的序號為_________________(寫出所有真命題的序號)
①設A、B為兩個定點,k為非零常數,,則動點P的軌跡為雙曲線;
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點,若則動點P的軌跡為橢圓;
③雙曲線有相同的焦點;
④在平面內,到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點A.

(1)求實數b的值;
(2)求以點A為圓心,且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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