Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=DC=2AB，點(diǎn)E是PC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE⊥DC
（Ⅱ）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由題意取CD中點(diǎn)M，要證BE⊥DC，可證DC⊥平面EBM，需證CD⊥EM，CD⊥BM，然后利用已知的線面垂直得到面面垂直，再由面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，最后得到線線垂直，由線面垂直的性質(zhì)得答案；
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

CF

=λ

CP

(0≤λ≤1)，由BF⊥AC轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0求得λ的值，然后分別求出兩個(gè)平面EAB與ABP的一個(gè)法向量，由法向量所成的角的余弦值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）證明：如圖，

取CD中點(diǎn)M，連接MB，
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
又平面ABCD∩平面PAD=AD，且AD⊥DC，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥PD，
∵E，M分別為PC，DC的中點(diǎn)，
∴EM∥BD，
∴CD⊥EM．
∵AB∥CD，DC=2AB，M為CD中點(diǎn)，
∴四邊形ABMD為平行四邊形，
又AD⊥CD，
∴四邊形ABMD為矩形，
則CD⊥BM．
又EM∩BM=M，
∴CD⊥平面EBM，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

BC

=(1，2，0)，

CP

=(-2，-2，2)，

AC

=(2，2，0)，

AB

=(1，0，0)，
設(shè)

CF

=λ

CP

(0≤λ≤1)，

BF

=

BC

+

CF

=

BC

+λ

CP

=（1-2λ，2-2λ，2λ），
由

BF

•

AC

=0，得λ=

3

4

，
則

BF

=(-

1

2

，

1

2

，

3

2

)．
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面FAB的一個(gè)法向量，
由

n • AB =0 n • BF =0

，得

x=0 - 1 2 x+ 1 2 y+ 3 2 z=0

，取z=1，得y=-3．
∴

n

=(0，-3，1)．
平面ABP的一個(gè)法向量為

m

=(0，1，0)，
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3 10

10

．
由已知可知，二面角F-AB-P為銳角，
∴二面角F-AB-P的余弦值為

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面與平面垂直的判斷，考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的大小，關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．