Question

已知在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，AB=1，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF⊥平面CDE；
（2）求平面ABC和平面CDE所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（1）取CE的中點(diǎn)M，連接BM、FM，利用線面垂直的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面ABC和BCE的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）取CE的中點(diǎn)M，連接BM、FM，
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴FM∥DE，且FM=

1

2

DE=

1

2

×2=1，
∵DE∥AB，
∴AB=1，
∴AB∥FM，且AB=FM，
則四邊形ABMF為平行四邊形，
∵AB⊥平面ACD，AB∥FM
∴FM⊥平面ACD，
∴FM⊥AF，
∵AC=AD=CD=DE=2，
∴AF⊥CD，
又AF∩CD=F
∴AF⊥平面CDE．
解：（ 2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以FD、FM、FA為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖
則F（0，0，0），D（1，0，0），C（-1，0，0），A（0，0，

3

），B（0，1，

3

），
∵AF⊥平面CDE
∴

FA

=（0，0，

3

）是平面BCE的一個(gè)法向量，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面ABC的一個(gè)法向量，
則

AB

=(0，1，0)，

CA

=(1，0，

3

)，
則

n • AB =y=0 n • CA =x+ 3 z=0

，
令z=1，則x=-

3

，y=0，
即

n

=(-

3

，0，1)，
則平面ABC和平面CDE所成的銳二面角滿足|cos＜

FA

，

n

＞|=

| FA • n |

| FA |•| n |

=

3

3 • 1+( 3 )2

=

1

2

，
則＜

FA

，

n

＞=

π

3

，
即平面ABC和平面CDE所成的銳二面角的大小

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)及二面角的平面角及求法，在使用向量法求二面角的大小時(shí)，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量是關(guān)鍵．