Question

如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC．
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）求證：平面PBD⊥平面PBE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已條條件推導(dǎo)出平面BEC∥平面PDA，由此能證明BE∥平面PDA．
（2）連接AC與BD交于點F，連接NF，由已知條件推導(dǎo)出四邊形NFCE為平行四邊形，由此推導(dǎo)出NE⊥面PDB．從而能證明平面PBD⊥平面PBE．

解答： 證明：（1）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA
∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA，
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA，
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．
（2）連接AC與BD交于點F，連接NF，
∵F為BD的中點，∴NF∥PD，且NF=

1

2

PD．
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，∴NF∥EC且NF=EC，
∴四邊形NFCE為平行四邊形，∴NE∥FC．
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB．
∵NE?平面PBE，∴平面PBD⊥平面PBE．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．