過點P（0，4）作圓x2+y2=4的切線l，若l與拋物線y2=2px（p＞0）交于兩點A、B，且OA⊥OB，求拋物線的方程．
考點：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：本題考查的知識點是圓的切線方程，及直線與拋物線的關(guān)系，由L過點P（0，4）與圓x2+y2=4的相切，則我們可以設(shè)出直線的點斜式方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，即可求出斜率的值，代入拋物線方程，即可得到交點，由于以AB為直徑的圓過原點O，故
OA
•
OB
=x1•x2+y1•y2=0，代入即可求得p，從而得到拋物線方程．
解答： 解：由已知得切線的斜率一定存在，設(shè)切線的方程為y=kx+4，即kx-y+4=0，
由于L與圓x2+y2=4相切，
∴圓心到直線L的距離d=
4
1+k2
=2，解得k=±
3

當(dāng)k=
3
時，L的方程為：y=
3
x+4
聯(lián)立拋物線y2=2px（p＞0）方程后，易得：x1•x2=
16
3
，y1•y2=
8
3
3
p
由于以AB為直徑的圓過原點O
所以
OA
•
OB
=x1•x2+y1•y2=0
解得p=-
2
3
3
（舍去）
當(dāng)k=-
3
時，L的方程為：y=-
3
x+4
聯(lián)立拋物線y2=2px（p＞0）方程后，易得：x1•x2=
16
3
，y1•y2=-
8
3
3
p
由于以AB為直徑的圓過原點O
所以x1•x2+y1•y2=0
解得p=
2
3
3

∴拋物線的方程為y2=
4
3
3
x
點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，解題時直線與拋物線的聯(lián)立是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-2，2），函數(shù)g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求函數(shù)g（x）的定義域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且焦點在x軸上，且橢圓截直線y=x+2所得線段AB的長為16
2
5
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△OAB的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求曲線
x=
2
3
(t+
1
t
)
y=
3
4
(t-
1
t
)
 的離心率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

2sin50°（1-
3
tan170°）的值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求使函數(shù)y=-
3
2
cos（
1
2
x-
π
6
），x∈（-
π
2
，
3π
2
）取得最大值、最小值時的自變量x的集合，并分別寫出其最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)α是第一象限角，且cosα=
5
13
，求：
2sin(α-3π)-3cos(-α)
4sin(α-5π)+9cos(3π+α)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知角α的終邊上一點坐標(biāo)為P（-3t，4t）（t≠0），求2sinα+cosα的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2+a
x+b
，（a，b∈R），若f（x）為奇函數(shù)，且f（1）=5．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案