Question

已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且焦點在x軸上，且橢圓截直線y=x+2所得線段AB的長為16

2

5

．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得a=2b，與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理簡化運算，從而橢圓的方程，
（2）求點O到直線y=x+2的距離d=

2

2

=

2

，即高，從而求面積．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
則由題意可得，a=2b，
故

x2

a2

+

y2

b2

=1可化為x²+4y²=4b²，
與直線y=x+2聯(lián)立消y化簡可得，
5x²+16x+16-4b²=0，
設(shè)點A（a，b），B（m，n），
則由橢圓截直線y=x+2所得線段AB的長為16

2

5

可知，
|a-m|=

16

5

，
又∵a+m=-

16

5

，
故16-4b²=0，
則b=2，
故橢圓的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）∵點O到直線y=x+2的距離d=

2

2

=

2

，
∴S_△OAB=

1

2

×16

2

5

×

2

=

16

5

．

點評：本題考查了橢圓的方程的求法，屬于中檔題．