Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫(xiě)出直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，試求．

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為；

（2）．

【解析】

（1）先寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程，再根據(jù)求出直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，對(duì)等式兩邊同乘以，再結(jié)合寫(xiě)出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）先寫(xiě)出直線(xiàn)的一個(gè)參數(shù)方程，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義求解．

解：（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程可化為（為參數(shù)），

消去可得直線(xiàn)的普通方程為，即，

又∵，

∴直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，

由可得，即

∴曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為；

（2）由（1）可知直線(xiàn)的傾斜角為，

∴直線(xiàn)的傾斜角也為，

又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

∴直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將其代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程可得，

設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

由韋達(dá)定理得，，

∴．