【題目】已知點為拋物線的焦點,過點任作兩條互相垂直的直線,,分別交拋物線于,,,四點,,分別為,的中點.
(1)求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線交拋物線于,兩點,試求的最小值.
【答案】(1)證明見解析,直線過定點(2)的最小值為.
【解析】
(1)設(shè),,顯然直線,的斜率是存在的,設(shè)直線的方程為,代入可得,可得出的中點坐標(biāo)為,再根據(jù),得的中點坐標(biāo)為,再令得,
得出直線恒過點,驗證,得,,三點共線,從而直線過的定點;
(2))由(1)設(shè)直線的方程為,代入可得,再設(shè),,得韋達(dá)定理,,表示出,由二次函數(shù)得出線段的最小值.
(1)設(shè),,
直線的方程為,代入可得,
則,故,
故的中點坐標(biāo)為.
由,得,所以的中點坐標(biāo)為.
令得,
此時,故直線過點,
當(dāng)時,,.
所以,,,三點共線,
所以直線過定點.
(2)設(shè),,直線的方程為,
代入可得,則,,
故
(當(dāng)時,取等號).
故,當(dāng)及直線垂直軸時,取得最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某動漫影視制作公司長期堅持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評,同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司2013年至2019年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)):
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年利潤 (單位:億元) |
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該公司2020年(年份代號記為)的年利潤;
(Ⅱ)當(dāng)統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時,稱該年為級利潤年,否則稱為級利潤年.將中預(yù)測的該公司2020年的年利潤視作該年利潤的實際值,現(xiàn)從2015年至2020年這年中隨機抽取年,求恰有年為級利潤年的概率.
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),),在以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是,等邊的頂點都在上,且點,,按照逆時針方向排列,點的極坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求點,,的直角坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)為上任意一點,求點到直線的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,求證:對于,恒成立;
(3)若存在,使得當(dāng)時,恒有成立,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《周髀算經(jīng)》中給出了:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列的結(jié)論.已知某地立春與雨水兩個節(jié)氣的日影長分別為尺和尺,現(xiàn)在從該地日影長小于尺的節(jié)氣中隨機抽取個節(jié)氣進(jìn)行日影長情況統(tǒng)計,則所選取這個節(jié)氣中恰好有個節(jié)氣的日影長小于尺的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知與直線平行的直線過點,且與曲線交于兩點,試求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在空間幾何體中,平面平面,與都是邊長為2的等邊三角形,,點在平面上的射影在的平分線上,已知和平面所成角為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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