Question

19．若圓x²+y²-x+my-4=0關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱(chēng)，動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+my≥0\\ y≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則$z=\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 由已知列式求得m值，代入約束條件，作出可行域，結(jié)合$z=\frac{b-2}{a-1}$的幾何意義，即區(qū)域OAB內(nèi)點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（1，2）連線的斜率求解．

解答 解：∵圓x²+y²-x+my-4=0關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱(chēng)，
∴圓心$（\frac{1}{2}，-\frac{m}{2}）$在直在線x-y=0上，則$\frac{1}{2}=-\frac{m}{2}⇒m=-1$，
約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y≥0\\ y≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖：
$z=\frac{b-2}{a-1}$表示區(qū)域OAB內(nèi)點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（1，2）連線的斜率．
∵${K_{OQ}}=\frac{2-0}{1-0}=2$，${K_{AQ}}=\frac{0-2}{2-1}=-2$，
∴$z=\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案為：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．