已知函數(shù)f(x)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱.

(1)試用含a的代數(shù)式表示函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的定義域;

(2)數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時,an>a1.?dāng)?shù)列{bn}中,b1=2,Sn=b1+b2+…bn.點在函數(shù)f(x)的圖像上,求a的值;

(3)在(2)的條件下,過點Pn作傾斜角為的直線ln,則ln在y軸上的截距為,求數(shù)列{an}的通項公式.

答案:
解析:

  (1)由題可知:與函數(shù)互為反函數(shù),所以,

  ,  2分

  (2)因為點在函數(shù)的圖像上,所以,

  (*)

  在上式中令可得:,又因為:,,代入可解得:.所以,,(*)式可化為:①6分

  (3)直線的方程為:,

  在其中令,得,又因為在y軸上的截距為,所以,

  =,結(jié)合①式可得:

  由①可知:當(dāng)自然數(shù)時,,兩式作差得:

  結(jié)合②式得:

  在③中,令,結(jié)合,可解得:

  又因為:當(dāng)時,,所以,舍去,得

  同上,在③中,依次令,可解得:,

  猜想:.下用數(shù)學(xué)歸納法證明.  10分

  (1)時,由已知條件及上述求解過程知顯然成立.

  (2)假設(shè)時命題成立,即,則由③式可得:

  

  把代入上式并解方程得:

  由于,所以,,所以,

  符合題意,應(yīng)舍去,故只有

  所以,時命題也成立.

  綜上可知:數(shù)列的通項公式為  14分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x2
1+x2

(1)由f(2)=
4
5
f(
1
2
)=
1
5
,f(3)=
9
10
f(
1
3
)=
1
10
這幾個函數(shù)值,你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f(
1
x
)
有什么關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)
的值;
(3)判斷函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-3x-
3
4
.定義函數(shù)f(x)與實數(shù)m的一種符號運(yùn)算為m?f(x)=f(x)•[f(x+m)-f(x)].
(1)求使函數(shù)值f(x)大于0的x的取值范圍;
(2)若g(x)=4?f(x)+
7
2
x2
,求g(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-3x-
3
4
.定義函數(shù)f(x)與實數(shù)m的一種符號運(yùn)算為m?f(x)=f(x)•[f(x+m)-f(x)].
(1)求使函數(shù)值f(x)大于0的x的取值范圍;
(2)若g(x)=4?f(x)+
7
2
x2
,求g(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值與最小值;
(3)是否存在一個數(shù)列{an},使得其前n項和Sn=4?f(n)+
7
2
n2
.若存在,求出其通項;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=.

(1)求圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、與x軸的交點坐標(biāo);

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值和零點;

(3)設(shè)圖象與x軸相交于(x1,0)、(x2,0),不求出根,求|x1-x2|;

(4)已知f(-)=,不計算函數(shù)值,求f(-);

(5)不計算函數(shù)值,試比較f(-)與f(-)的大。

(6)寫出使函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量x的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
x2
1+x2

(1)由f(2)=
4
5
,f(
1
2
)=
1
5
,f(3)=
9
10
,f(
1
3
)=
1
10
這幾個函數(shù)值,你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f(
1
x
)
有什么關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)
的值;
(3)判斷函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.

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