（2013•黑龍江二模）已知向量
a
，
b
，
c
滿足：|
a
|=1，|
b
|=
2
，
b
在
a
上的投影為
1
2
，（
a
-
c
）（
b
-
c
）=0，則|
c
|的最大值為
1+
2
2
1+
2
2
．
分析：建立直角坐標系O-xy．設
a
=(1，0)，由
b
在
a
上的投影為
1
2
，可得cos＜
a
，
b
＞=
2
4
，得到sin＜
a
，
b
＞=
1-(
2
4
)2
=
14
4
，即可得到
b
=(
1
2
，
7
2
)．設
c
=(x，y)，由（
a
-
c
）•（
b
-
c
）=0得(1-x，-y)•(
1
2
-x，
7
2
-y)=0，得到(x-
3
4
)2+(y-
7
4
)2=
1
2
．得圓心C(
3
4
，
7
4
)，半徑r=
2
2
．利用|
c
|=
x2+y2
≤|
OC
|+r即可得到|
c
|的最大值．
解答：解：建立直角坐標系O-xy．
設
a
=(1，0)，
∵
b
在
a
上的投影為
1
2
，
∴|
b
|cos＜
a
，
b
＞=
1
2
，∴cos＜
a
，
b
＞=
2
4
，
∴sin＜
a
，
b
＞=
1-(
2
4
)2
=
14
4
，
∴
b
=(
1
2
，
7
2
)．
設
c
=(x，y)，由（
a
-
c
）•（
b
-
c
）=0得(1-x，-y)•(
1
2
-x，
7
2
-y)=0，
得(1-x)(
1
2
-x)-y(
7
2
-y)=0，化為(x-
3
4
)2+(y-
7
4
)2=
1
2
．
得圓心C(
3
4
，
7
4
)，半徑r=
2
2
．
∴|
c
|=
x2+y2
≤|
OC
|+r=
(
3
4
)2+(
7
4
)2
+
2
2
=1+
2
2
．
故|
c
|的最大值為1+
2
2
．
故答案為1+
2
2
．
點評：熟練掌握向量的數(shù)量積運算及其投影的意義、圓的標準方程、模的計算公式等是解題的關(guān)鍵．
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3
5
）x+（
4
5
）x=1的解”有如下解題思路：設f（x）=（
3
5
）x+（
4
5
）x，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為
{-1，2}
{-1，2}
．

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1
e
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1+i
2-i
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