Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-2a（sinx+cosx）+a²，
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為g（a），無論a為何值g（a）≥m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）當a=2時，f（x）=sin2x-4（sinx+cosx）+4，令sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

），可求得g（t）=t²-4t+3=（t-2）²-1，繼而可求得函數(shù)g（t）（即f（x））的最小值；
（2）同（1）令sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

），h（t）=t²-1-2at+a²=（t-a）²-1，通過對a范圍的討論，可求得g（a）=

a2+2 2 a+1，a＜- 2 -1，- 2 ≤a≤ 2 a2-2 2 a+1，a＞ 2

及其最小值，于是可得m的范圍．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=sin2x-4（sinx+cosx）+4
=2sinxcosx-4（sinx+cosx）+4，
令sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

），
則2sinxcosx=t²-1，
∴g（t）=t²-4t+3=（t-2）²-1，
∵g（t）在[-

2

，

2

]上單調遞減，
∴g（t）_min=g（

2

）=5-4

2

．
（2）令sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

），
∵h（t）=t²-1-2at+a²=（t-a）²-1，
當a＜-

2

時，h（t）_min=h（-

2

）=1-2a（-

2

）+a²；
當-

2

≤a≤

2

時，h（t）_min=-1；
當a＞

2

時，h（t）_min=h（

2

）=1-2

2

a+a²；
∴g（a）=

a2+2 2 a+1，a＜- 2 -1，- 2 ≤a≤ 2 a2-2 2 a+1，a＞ 2

，
∴g（a）_min=-1，
∴m≤-1

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，著重考查函數(shù)與方程思想與綜合運算求解能力，屬于難題．