Question

已知在四棱錐中，,,，分別是的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證；

(Ⅱ)求證；

(Ⅲ)若，求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(1)根據(jù)已知條件，要證明，則要根據(jù)線面你垂直的判定定理來得到，分析，所以以及加以證明。

(2) 對于線面平行，的證明分析到，是關(guān)鍵一步。

(3) ,所以二面角等于

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 證明:由已知得，

故是平行四邊形，所以，---------1分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050808504220921986/SYS201305080851006311305905_DA.files/image002.png">，所以,               ---------2分

由及是的中點(diǎn)，得,    ---------3分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050808504220921986/SYS201305080851006311305905_DA.files/image016.png">,所以.     ---------4分

(Ⅱ) 證明:連接交于,再連接,

由是的中點(diǎn)及，知是的中點(diǎn)，

又是的中點(diǎn)，故，     ---------5分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050808504220921986/SYS201305080851006311305905_DA.files/image026.png">，

所以.              ---------7分

(Ⅲ)解：設(shè),

則，又，，

故即，                     ---------8分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050808504220921986/SYS201305080851006311305905_DA.files/image003.png">，，

所以，得，故，        ---------10分

取中點(diǎn)，連接,可知,因此,  ---------11分

綜上可知為二面角的平面角.                  ---------12分

可知，     

故,所以二面角等于 .                ---------13分

考點(diǎn)：線面平行和垂直證明，二面角的平面角

點(diǎn)評：對于空間中的線面的平行和垂直的判定定理以及性質(zhì)定理要熟練的掌握，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。