Question

設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下面三個(gè)條件：①f（2）=0；②對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；③當(dāng)x＞1時(shí)，總有f（x）＜1．
（1）求f（1）及f（

1

2

）的值；
（2）求證f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）求不等式f（x-1）+f（x-2）＜1的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令a=b=1，則f（1）=1，只需要利用特值得方法即可獲得解答；
（2）要利用好條件③再結(jié)合單調(diào)性的定義證明即可獲得解答
（3）原不等式轉(zhuǎn)化為（x-1）（x-2）＞2，有定義在（0，+∞），繼而求得答案．

解答： 解：（1）∵f（a）+f（b）-1=f（a•b），
令a=b=1，則f（1）=1
∵f（2）=0，
∴f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-1=1
∴f（

1

2

）=2，
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，f（x1）-f（x2）=f（x₁）-f(

x2

x1

•x₁）=f（x₁）-f（

x2

x1

）-f（x₁）+1=1-f（

x2

x1

），
∵

x2

x1

＞1，
∴f（

x2

x1

）＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）∵f（x-1）+f（x-2）-1=f[（x-1）（x-2）]，
∵f（x-1）+f（x-2）＜1
∴f（x-1）+f（x-2）-1＜0
∴f[（x-1）（x-2）]＜0=f（2）
∴（x-1）（x-2）＞2
解得x＜0或x＞3
又x-1＞0，x-2＞0
∴x＞2，
∴x＞3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)的綜合應(yīng)用問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象函數(shù)特值的思想、函數(shù)單調(diào)性以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．