Question

【題目】如圖， 是邊長為 的正方形， 平面 ， ， ， 與平面 所成角為 ．

（Ⅰ）求證： 平面 ．
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
（Ⅲ）設點 是線段 上一個動點，試確定點 的位置，使得 平面 ，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵ 平面 ， 平面 ，

∴ ，

又∵ 是正方形，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面 ．

（Ⅱ）解：∵ ， ， 兩兩垂直，所以建立如圖空間直角坐標系 ，

∵ 與平面 所成角為 ，即 ，

∴ ，

由 ，可知： ， ．

則 ， ， ， ， ，

∴ ， ，

設平面 的法向量為 ，則

，即 ，

令 ，則 ．

因為 平面 ，所以 為平面 的法向量，

∴ ，

所以 ．

因為二面角為銳角，

故二面角 的余弦值為 ．

（Ⅲ）解：依題意得，設 ，

則 ，

∵ 平面 ，

∴ ，即 ，解得： ，

∴點 的坐標為 ，

此時 ，

∴點 是線段 靠近 點的三等分點．

【解析】（1）證明線面垂直的要點就是在平面內(nèi)找互兩條相交直線都與所證直線垂直。
（2）求二面角時，往往建立空間直角坐標系用兩個平面的法向量的夾角來求。
（3）要確定點 M 的位置，使得 AM∥平面BEF，可先設點M的坐標，則向量AM與平面的法向量垂直即可。