Question

3．已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程是ρ（cosθ+2sinθ）=15．若點(diǎn)P、Q分別是曲線C和直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{21}$

Answer 1

分析 設(shè)P（3cosφ，2sinφ）（φ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程化為普通方程：x+2y-15=0．則點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|3cosφ+4sinφ-15|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（φ+θ）-15|}{\sqrt{5}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)P（3cosφ，2sinφ）（φ為參數(shù)），
直線l的極坐標(biāo)方程是ρ（cosθ+2sinθ）=15化為普通方程：x+2y-15=0．
則點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|3cosφ+4sinφ-15|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（φ+θ）-15|}{\sqrt{5}}$
≥$\frac{|5-15|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)sin（φ+θ）=1時(shí)取等號(hào)，arctanθ=$\frac{3}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．