Question

三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC．AC⊥CB，D為AB中點(diǎn)，CB=1，AC=，A₁A=．
（I）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（II）求三棱錐C₁-A₁DC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證BC₁∥平面A₁CD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BC₁與平面A₁CD內(nèi)一直線平行，連接AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連接DE，根據(jù)中位線定理可知ED∥DC₁，又ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，滿足定理所需條件；
（II）在平面ABC中過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于H．根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知DH⊥面ACC₁A₁，V_D-AC1C=•DH•S_△AC1C，由等積法可得V_C1-A1DC=V_D-AC1C即可求出所求．
解答：（Ⅰ）證明：連接AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連接DE
∵A₁B₁C₁-ABC是三棱柱，
側(cè)棱AA₁⊥底面ABC．
且AC=AA₁=
∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中點(diǎn)，
又D為AB中點(diǎn)
∴ED∥DC₁
又ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD
∴BC₁∥平面A₁CD
（II）在平面ABC中過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于H．由于
底面ABC⊥面ACC₁A₁，
且AC為兩平面交線，
∴DH⊥面ACC₁A₁．
△ABC中，AB==2，所以∠BAC=30°，且AD=1．
在△ABC中，HD=ADsin30°=
由于S_△AC1C=，
所以V_D-AC1C=•DH•S_△AC1C=••=
∴由等積法可得V_C1-A1DC=V_D-AC1C=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及三棱錐的體積的計(jì)算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．