Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且在軸上截得線段的長(zhǎng)為 4，直線交軸于點(diǎn).

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(2)直線與軌跡交于兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作軌跡的切線交于點(diǎn)，若.試判斷實(shí)數(shù)所滿足的條件，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)垂徑定理列出動(dòng)圓圓心滿足的條件，化簡(jiǎn)可得軌跡方程；（2）由, 得,再利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程，解方程組可得P點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)等量關(guān)系得，解得.

試題解析：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑， ，

∵動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得線段的長(zhǎng)為4，

∴，消去得，

故所求軌跡的方程為 ；

(2)實(shí)數(shù)是定值，且，下面說(shuō)明理由，

不妨設(shè)，

，由題知，

由，消去得，

∴，軌跡在點(diǎn)處的切線方程為，即，

同理，軌跡在處的切線方程為，

聯(lián)立：的方程解得交點(diǎn)坐標(biāo)，即，

由,

得,即,

， ，

∴，

即，

則，

則，故實(shí)數(shù)是定值，且.