Question

9．若函數(shù)f（x）=-x+b的圖象與函數(shù)g₁（x）=x²（0≤x≤1）的圖象相交于點(diǎn)A，與函數(shù)g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的圖象相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 函數(shù)g₁（x）=x²（0≤x≤1）的圖象與函數(shù)g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故當(dāng)函數(shù)f（x）=-x+b的圖象過(guò)原點(diǎn)與（1，1）點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，|AB|取最大值，進(jìn)而得到答案．

解答 解：函數(shù)g₁（x）=x²（0≤x≤1）的圖象與函數(shù)g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
故當(dāng)函數(shù)f（x）=-x+b的圖象過(guò)原點(diǎn)與（1，1）點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，|AB|取最大值，
此時(shí)b=1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y={x}^{2}\end{array}\right.$得：A點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y=\sqrt{x}\end{array}\right.$得：B點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$），
此時(shí)|AB|=$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$，
故|AB|的最大值為$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，函數(shù)的最值及其幾何意義，難度中檔．