如圖，設(shè)橢圓動(dòng)直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限.
（１）已知直線(xiàn)的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；
（２）若過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與垂直，證明：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為.

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）詳見(jiàn)解析．

解析試題分析：（1）已知直線(xiàn)的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知橢圓動(dòng)直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，可設(shè)出直線(xiàn)的方程為，結(jié)合橢圓方程，得，消去得，，令，得，即，代入原式得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再由點(diǎn)在第一象限，得，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為，由直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)且與垂直，得直線(xiàn)的方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得，即，由式子特點(diǎn)，需消去即可，注意到，代入即可證明．
（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，消去得，，由于直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）由于直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且與垂直，故直線(xiàn)的方程為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，整理得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7e/8/avg9d1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，點(diǎn)單直線(xiàn)距離，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何得基本思想方法，基本不等式應(yīng)用等綜合解題能力。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上.
（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線(xiàn)交軸與點(diǎn)，并且，證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線(xiàn)上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)．求證：
(1)為定值；
(2) 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線(xiàn)段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該圓相切與點(diǎn)M，=.求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求軌跡為的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，求直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，拋物線(xiàn)分別以A,B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，與相交于直線(xiàn)上一點(diǎn)P.
（1）求橢圓C及拋物線(xiàn)的方程；
（2）若動(dòng)直線(xiàn)與直線(xiàn)OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，已知點(diǎn)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知兩條拋物線(xiàn)和，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn)和，與分別交于兩點(diǎn)，與分別交于兩點(diǎn).
（1）證明：
（2）過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)（異于，）與分別交于兩點(diǎn).記與的面積分別為與,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓C于A(yíng) 、B兩點(diǎn),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度。.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，D，E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率，的面積為.若點(diǎn)在橢圓C上，則點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)M的一個(gè)“橢圓”，直線(xiàn)與橢圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢圓”分別為P，Q.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）問(wèn)是否存在過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出該直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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