如圖,設(shè)橢圓動(dòng)直線(xiàn)
與橢圓
只有一個(gè)公共點(diǎn)
,且點(diǎn)
在第一象限.
(1)已知直線(xiàn)的斜率為
,用
表示點(diǎn)
的坐標(biāo);
(2)若過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)
與
垂直,證明:點(diǎn)
到直線(xiàn)
的距離的最大值為
.
(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為
;(2)詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:(1)已知直線(xiàn)的斜率為
,用
表示點(diǎn)
的坐標(biāo),由已知橢圓
動(dòng)直線(xiàn)
與橢圓
只有一個(gè)公共點(diǎn)
,可設(shè)出直線(xiàn)
的方程為
,結(jié)合橢圓方程,得
,消去
得,
,令
,得
,即
,代入原式得點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,再由點(diǎn)
在第一象限,得
,可得點(diǎn)
的坐標(biāo)為
;(2)點(diǎn)
到直線(xiàn)
的距離的最大值為
,由直線(xiàn)
過(guò)原點(diǎn)
且與
垂直,得直線(xiàn)
的方程為
,利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得
,即
,由式子特點(diǎn),需消去
即可,注意到
,代入即可證明.
(1)設(shè)直線(xiàn)的方程為
,由
,消去
得,
,由于直線(xiàn)
與橢圓
只有一個(gè)公共點(diǎn)
,故
,即
,解得點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,由點(diǎn)
在第一象限,故點(diǎn)
的坐標(biāo)為
;
(2)由于直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)
,且與
垂直,故直線(xiàn)
的方程為
,所以點(diǎn)
到直線(xiàn)
的距離
,整理得
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7e/8/avg9d1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立,所以點(diǎn)
到直線(xiàn)
的距離的最大值為
.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),點(diǎn)單直線(xiàn)距離,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何得基本思想方法,基本不等式應(yīng)用等綜合解題能力。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在
軸上.
(1)若橢圓的焦距為1,求橢圓
的方程;
(2)設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),
為橢圓
上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線(xiàn)
交
軸與點(diǎn)
,并且
,證明:當(dāng)
變化時(shí),點(diǎn)
在某定直線(xiàn)上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)
的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于
,
兩點(diǎn).求證:
(1)為定值;
(2) 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
,,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知
=
.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線(xiàn)段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)
的直線(xiàn)
與該圓相切與點(diǎn)M,
=
.求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
到點(diǎn)
的距離比它到
軸的距離多1,記點(diǎn)
的軌跡為
.
(1)求軌跡為的方程;
(2)設(shè)斜率為的直線(xiàn)
過(guò)定點(diǎn)
,求直線(xiàn)
與軌跡
恰好有一個(gè)公共點(diǎn),兩個(gè)公共點(diǎn),三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)
的相應(yīng)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,左右頂點(diǎn)分別為
,上頂點(diǎn)為B,拋物線(xiàn)
分別以A,B為焦點(diǎn),其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O,
與
相交于直線(xiàn)
上一點(diǎn)P.
(1)求橢圓C及拋物線(xiàn)的方程;
(2)若動(dòng)直線(xiàn)與直線(xiàn)OP垂直,且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,已知點(diǎn)
,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知兩條拋物線(xiàn)和
,過(guò)原點(diǎn)
的兩條直線(xiàn)
和
,
與
分別交于
兩點(diǎn),
與
分別交于
兩點(diǎn).
(1)證明:
(2)過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)
(異于
,
)與
分別交于
兩點(diǎn).記
與
的面積分別為
與
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知過(guò)點(diǎn)(0,2)且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓C于A(yíng) 、B兩點(diǎn),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度。.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖為橢圓C:
的左、右焦點(diǎn),D,E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率
,
的面積為
.若點(diǎn)
在橢圓C上,則點(diǎn)
稱(chēng)為點(diǎn)M的一個(gè)“橢圓”,直線(xiàn)
與橢圓交于A(yíng),B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的“橢圓”分別為P,Q.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)問(wèn)是否存在過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)
,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出該直線(xiàn)的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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