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在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.
（1）求軌跡為的方程；
（2）設斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍.

（1）；（2）當時直線與軌跡恰有一個公共點； 當時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點； 當時，故此時直線與軌跡恰有三個公共點.

解析試題分析：（1）設點，根據條件列出等式，在用兩點間的距離公式表示，化簡整理即得；（2）在點的軌跡中，記，，設直線的方程為，聯立方程組整理得 ，分類討論①時；② ；③ 或；④ ，確定直線與軌跡的公共點的個數.
（1）設點，依題意，，即，
整理的，
所以點的軌跡的方程為.
（2）在點的軌跡中，記，，
依題意，設直線的方程為，
由方程組得     ①
當時，此時，把代入軌跡的方程得，
所以此時直線與軌跡恰有一個公共點.
當時，方程①的判別式為      ②
設直線與軸的交點為，則由，令，得③
（ⅰ）若，由②③解得或.
即當時，直線與沒有公共點，與有一個公共點，
故此時直線與軌跡恰有一個公共點.
（ⅱ）若或，由②③解得或，
即當時，直線與有一個共點，與有一個公共點.
當時 ，直線與有兩

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，為上頂點，為坐標原點，若△的面積為，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓，稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是.
（1）若橢圓C上一動點滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為，求P點的坐標；
（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓經過點，離心率為，左右焦點分別為.

（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于兩點，與以為直徑的圓交于兩點，且滿足，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

（1）求雙曲線的離心率；
（2）如圖，為坐標原點，動直線分別交直線于兩點（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，設橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限.
（１）已知直線的斜率為，用表示點的坐標；
（２）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓經過點，離心率，直線與橢圓交于，兩點，向量，，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線過橢圓的焦點（為半焦距）時，求直線的斜率.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓的方程為，定直線的方程為．動圓與圓外切，且與直線相切．
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與軌跡相切于第一象限的點, 過點作直線的垂線恰好經過點，并交軌跡于異于點的點，求直線的方程及的長.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知直線與橢圓相交于兩點，點是線段上的一點，且點在直線上.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.

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