在平面直角坐標系中,點
到點
的距離比它到
軸的距離多1,記點
的軌跡為
.
(1)求軌跡為的方程;
(2)設斜率為的直線
過定點
,求直線
與軌跡
恰好有一個公共點,兩個公共點,三個公共點時
的相應取值范圍.
(1);(2)當
時直線
與軌跡
恰有一個公共點; 當
時,故此時直線
與軌跡
恰有兩個公共點; 當
時,故此時直線
與軌跡
恰有三個公共點.
解析試題分析:(1)設點,根據條件列出等式
,在用兩點間的距離公式表示
,化簡整理即得;(2)在點
的軌跡
中,記
,
,設直線
的方程為
,聯立方程組
整理得
,分類討論①
時;②
;③
或
;④
,確定直線
與軌跡
的公共點的個數.
(1)設點,依題意,
,即
,
整理的,
所以點的軌跡
的方程為
.
(2)在點的軌跡
中,記
,
,
依題意,設直線的方程為
,
由方程組得
①
當時,此時
,把
代入軌跡
的方程得
,
所以此時直線與軌跡
恰有一個公共點
.
當時,方程①的判別式為
②
設直線與
軸的交點為
,則由
,令
,得
③
(ⅰ)若,由②③解得
或
.
即當時,直線
與
沒有公共點,與
有一個公共點,
故此時直線與軌跡
恰有一個公共點.
(ⅱ)若或
,由②③解得
或
,
即當時,直線
與
有一個共點,與
有一個公共點.
當時 ,直線
與
有兩
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為
,
為上頂點,
為坐標原點,若△
的面積為
,且橢圓的離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線交橢圓于
,
兩點, 且使點
為△
的垂心?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
給定橢圓,稱圓心在坐標原點O,半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個焦點分別是
.
(1)若橢圓C上一動點滿足
,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點作直線l與橢圓C只有一個交點,且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
,求P點的坐標;
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點
的直線的最短距離
.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知雙曲線的兩條漸近線分別為
.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)如圖,為坐標原點,動直線
分別交直線
于
兩點(
分別在第一,四象限),且
的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線
有且只有一個公共點的雙曲線
?若存在,求出雙曲線
的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,設橢圓動直線
與橢圓
只有一個公共點
,且點
在第一象限.
(1)已知直線的斜率為
,用
表示點
的坐標;
(2)若過原點的直線
與
垂直,證明:點
到直線
的距離的最大值為
.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知圓的方程為
,定直線
的方程為
.動圓
與圓
外切,且與直線
相切.
(1)求動圓圓心的軌跡
的方程;
(2)直線與軌跡
相切于第一象限的點
, 過點
作直線
的垂線恰好經過點
,并交軌跡
于異于點
的點
,求直線
的方程及
的長.
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