Question

已知f（x）=x²-abx+2a²．
（Ⅰ）當b=3時，
（�。┤舨坏仁絝（x）≤0的解集為[1，2]時，求實數a的值；
（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集；
（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）根據一元二次不等式的解法即可得到結論．
（Ⅱ）將不等式恒成立進行轉化，利用基本不等式求出最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當b=3時，f（x）=x²-abx+2a²=x²-3ax+2a²，
（�。�∵不等式f（x）≤0的解集為[1，2]時，
∴1，2是方程x²-3ax+2a²=0的兩根．
∴

1+2=3a 1×2=2a2

，解得a=1．
（ⅱ）∵x²-3ax+2a²＜0，
∴（x-a）（x-2a）＜0，
∴若a＞0時，此不等式解集為（a，2a），
若a=0時，此不等式解集為空集，
若a＜0時，此不等式解集為（2a，a）．
（Ⅲ）f（2）=4-2ab+2a²＞0在a∈[1，2]上恒成立
即b＜a+

2

a

在a∈[1，2]上恒成立；   
又∵a+

2

a

≥2

a• 2 a

=2

2

，
當且僅當a=

2

a

，即a=

2

時上式取等號．
∴b＜2

2

，
實數b的取值范圍是（-∞，2

2

）

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立問題，利用基本不等式將參數進行分類，求出函數的最值是解決本題的關鍵．