Question

已知向量

a

=（1，sinx），

b

=（sin²x，cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（a）=

3

4

，求sin2a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把向量的坐標代入數(shù)量及公式后進行化積運算，然后根據(jù)給出的x的范圍求向量數(shù)量積的最小值；
（Ⅱ）把f（a）=

3

4

代入（Ⅰ）中的表達式求出sin(2a-

π

4

)=

2

4

，根據(jù)角的范圍求出2a-

π

4

的余弦值，利用配角運算求sin2a的值．

解答：解：（Ⅰ）由向量

a

=（1，sinx），

b

=（sin²x，cosx），
所以f(x)=

a

•

b

=sin2x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

2 sin(2x- π 4 )+1

2

因為x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
當2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時，f（x）有最小值0；
（Ⅱ）由f(a)=

2 sin(2a- π 4 )+1

2

=

3

4

，得sin(2a-

π

4

)=

2

4

  
∵a∈[0，

π

2

]，2a-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，又0＜sin(2a-

π

4

)=

2

4

＜

2

2

∴2a-

π

4

∈(0，

π

4

)，得cos(2a-

π

4

)=

1-( 2 4 )2

=

14

4

．
∴sin2a=sin(2a-

π

4

+

π

4

)=

2

2

[sin(2a-

π

4

)+cos(2a-

π

4

)]
=

2

2

[

2

4

+

14

4

]=

1+ 7

4

．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積的運算，考查了學(xué)生的計算能力，解答的關(guān)鍵在于配角思想的應(yīng)用，同時注意三角函數(shù)中給值求值時角的范圍的限制，是中檔題．