Question

如圖，在長方體中,，點是棱AB上的一個動點 .

(Ⅰ)證明:；

(Ⅱ)當為的中點時，求點到面的距離；         

(Ⅲ)線段的長為何值時，二面角的大小為.

 

Answer 1

解法一

(Ⅰ)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面，．     

(Ⅱ)等體積法

由已知條件可得，，，所以為等腰三角形，

=， ，設點到平面的距離，根據(jù)可得，，即，

解得．

(Ⅲ)過點作于，連接．

因為平面，所以

，又，∩，所以平面，

故，為二面角的平面角，所以，，，，，由可得，．

解法二:以為坐標原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標系,

設,則

 

(I)              因為  所以，即.

(II)          (II)因為為的中點,則，從而,

,設平面的法向量為,則

也即,得, 設，從而，所以點到平面的距離為

 

(Ⅲ)設平面的法向量,

∴

由     令,

∴

依題意

∴ (不合,舍去), .

∴時,二面角的大小為