Question

已知方程C：x²+y²-4x-4y+a=0      
（1）若方程C表示圓，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）方程C中，當(dāng)a=-17時(shí)，求過(guò)點(diǎn)（7，-6）且與圓C相切的切線方程；
（3）若（1）中的圓C與直線l：2x-y-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二元二次方程表示圓的條件,圓的切線方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）由方程C：x²+y²-4x-4y+a=0配方為（x-2）²+（y-2）²=8-a，由于方程C表示圓，必需8-a＞0，解得a即可．
（2）分類(lèi)討論：當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為：l：y+6=k（x-7），利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．斜率不存在時(shí)直接得出即可．
（3）把直線l的方程與圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用OA⊥OB?

OA

•

OB

=0即可得出．

解答： 解：（1）由方程C：x²+y²-4x-4y+a=0配方為（x-2）²+（y-2）²=8-a，
∵方程C表示圓，∴8-a＞0，解得a＜8．
∴a＜8時(shí)，方程C表示圓的方程．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，8）．
（2）當(dāng)k=-17時(shí)，方程C為：（x-2）²+（y-2）²=25，圓心C（2，2），R=5．
∵P在圓外，∴有2條切線．
設(shè)斜率存在時(shí)切線l的斜率為 k，則 l：y+6=k（x-7），即l：kx-y-7k-6=0 
由

|2k-2-7k-6|

k2+1

=5，化簡(jiǎn)得 80k+39=0，解得k=-

39

80

．
∴代入l方程得其中一條切線為 l_1： 39x+80y-207=0．
由圖象知另一條切線為 l₂：x=7．
（3）設(shè)直線l∩圓C于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0…①
由l方程得 y=2x-3 代入方程C消去y得 5x²-24x+21+a=0，
 由根與系數(shù)關(guān)系x₁+x₂=

24

5

，x₁x₂=

21+a

5

…②
又A，B∈l，∴y₁=2x₁-3，y₂=2x₂-3．
∴y₁y₂=4x₁x₂-6（x₁+x₂）+9…③，
把②③代入①得  5x₁x₂-6（x₁+x₂）+9=0，
∴5×

21+a

5

-6×

24

5

+9=0，
化為5a+6=0，
解得a=-

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次方程與圓的方程之間的關(guān)系、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、OA⊥OB?

OA

•

OB

=0、配方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．