Question

【題目】已知函數(shù)（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a，）在點處的切線方程是.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）求出.由題意求出，，即可求出，，代入，即可求出的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）知.解法1：要使在上恒成立，只需即可，利用導(dǎo)數(shù)求；解法2：要使在上恒成立，等價于在上恒成立.令，則只需即可，利用導(dǎo)數(shù)求；解法3：要使在上恒成立，等價于在上恒成立. 先證明，可得當(dāng)時，有，可得，即求實數(shù)m的取值范圍.

（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，

由條件可知，，解得，，

所以.

.令得，

于是，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）知.

解法1：要使在上恒成立，只需即可.

因為，，

所以在上單調(diào)遞增.

因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，在上存在唯一的零點，滿足，

所以，

且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

于是

由得，此時必有，，

兩邊同時取自然對數(shù)，則有，即.

構(gòu)造函數(shù)（），則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即.

故，于是實數(shù)m的取值范圍是.

解法2：要使在上恒成立，等價于在上恒成立.

令（），則只需即可.

，令（），則，

所以在上單調(diào)遞增，又，，

所以有唯一的零點，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因為，兩邊同時取自然對數(shù)，則有，

即.

構(gòu)造函數(shù)（），則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，

所以，即.

所以.

于是實數(shù)m的取值范圍是

解法3：要使在上恒成立，

等價于在上恒成立.

先證明，令（），則，于是，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）

所以，當(dāng)時，有，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，于是實數(shù)m的取值范圍是.