已知長方體ABCD－A1B1C1D1，E為AB中點，M為A1D中點，AA1=AD=2，AB=4．

① 求證AM∥平面A1EC，平面A1EC⊥平面A1DC；

② 求點A到平面A1EC的距離；

③ 求平面A1AD與平面A1EC所成二面角的大�。�

 

答案：
解析：

解

① 設(shè)F是A1C中點，連接EF，MF，

則 MF∥CD，MF=CD，

∴ MF∥AE，MF=AE，

四邊形AEFM是平行四邊形，AM∥EF，

∴ AM∥平面A1EC．

∵ AA1=AD，M為A1D中點，

∴ AM⊥A1D，

又CD⊥平面A1AD，CD⊥AM，

∴AM⊥平面A1DC，

∴EF⊥平面A1DC，

于是平面A1EC⊥平面A1DC；

② 作MN⊥A1C，垂足是N，

∵ 平面A1EC⊥平面A1DC，

∴ MN⊥平面A1EC，又AM∥平面A1EC，

∴ MN是點A到平面A1EC的距離．

在直角△A1DC中，A1D=2，DC=4，

  MN==．

③ ∵ AM∥平面A1EC

∴ 平面A1AD與平面A1EC的交線m∥AM，

AM⊥A1D，EF⊥A1C，

∴ ∠DA1C是平面A1AD與平面A1EC所成二面角的平面角，

在直角△A1DC中，

tan∠DA1C==，

∠DA1C=arctan．

 


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=4，點M是棱D1C1的中點．
（1）試用反證法證明直線AB1與BC1是異面直線；
（2）求直線AB1與平面DA1M所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，DA=DD1=1，DC=
2
，點E是B1C1的中點，點F在AB上，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
（1）求
AE
的坐標(biāo)及長度；
（2）求點F的坐標(biāo)，使直線DF與AE的夾角為90°．

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已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是BB1和BC的中點，AB=4，AD=2，BB1=2
15
，求異面直線B1D與MN所成角的余弦值．

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精英家教網(wǎng)如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，BB1=2，連接B1C，過B點作B1C．
的垂線交CC1于E，交B1C于F．
（I）求證：A1C⊥平面EBD；
（Ⅱ）求直線DE與平面A1B1C所成角的正弦值．

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已知長方體ABCD-A1B1C1D1，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（　　）
精英家教網(wǎng)
A、
AD1
•
B1C
B、
BD1
•
AC
C、
AB
•
AD1
D、
BD1
•
BC

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