Question

2．f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+alnx，（x＞0，0＜a＜e）}\\{cosx，（x≤0）}\end{array}}$，則y=f[f（x）]的零點有（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 無窮多個

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在x＞0時的最小值，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，然后判斷x≤0時，函數(shù)的零點的個數(shù)，推出結(jié)果即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時，求導(dǎo)可得$f（x）=\frac{1}{x}+alnx$在$x=\frac{1}{a}$時有最小值，$f（\frac{1}{a}）=a+aln\frac{1}{a}$，
又$0＜a＜e，ln\frac{1}{a}＞ln\frac{1}{e}=-1$，所以$f（\frac{1}{a}）＞0$，即x＞0時，f（x）＞0，y=f[f（x）]＞0，沒有零點．
當(dāng)x≤0時，cosx∈[-1，1]，若cosx＞0，則y=f[f（x）]＞0，
若cosx∈[-1，0]，則同樣可得y=f[f（x）]＞0，函數(shù)沒有零點．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，考查計算能力．