Question

10．如圖，動圓C過點F（1，0），且與直線x=-1相切于點P．
（Ⅰ）求圓心C的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）過點F任作一直線交軌跡Γ于A，B兩點，設PA，PF，PB的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問：$\frac{{{k_1}+{k_3}}}{k_2}$是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義，求圓心C的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=my+1，與拋物線方程聯(lián)立，可得y²-4my-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到根與系數(shù)的關系，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，圓心C到點F的距離與到直線x=-1的距離相等，
由拋物線的定義，可得，圓心C的軌跡是以F 為焦點，x=-1為準線的拋物線，
∴圓心C的軌跡Γ的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=my+1，與拋物線方程聯(lián)立，可得y²-4my-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
設P（-1，t），則k₁=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}+2}$，k₃=$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}+2}$，k₂=-$\frac{t}{2}$，
∴k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}+2}$=-t=2k₂，
∴$\frac{{{k_1}+{k_3}}}{k_2}$=2為定值．

點評 本題考查了拋物線的定義及其性質、直線與拋物線的位置關系，考查斜率的計算，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．