Question

已知f（x）為定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，x∈[2，3]時(shí)，g（x）=2a（x-2）-3（x-2）³，a為實(shí)常數(shù)且a＞5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）解關(guān)于x的不等式f（sin（x+

π

3

））＞f（cos（x+

π

3

））．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)f（x）的圖象上任意點(diǎn)（x，f（x）），求出它關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意給出x的范圍，再代入g（x）的解析式化簡(jiǎn)，再由偶函數(shù)的關(guān)系式求出另外一部分的解析式，最后用分段函數(shù)的形式表示出來；
（2）f（x）為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)f（x）=2ax-3x³在x∈（0，1]的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，可得不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）的圖象上任意點(diǎn)（x，f（x）），
它關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)（2-x，f（x））在g（x）的圖象上，
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-3（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+3x³，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-3x³，
又∵f（x）是定義在x∈[-1，1]上的偶函數(shù)，
∴f（x）=2ax-3x³，
則f（x）=

-2ax+3x3，-1≤x≤0 2ax-3x3，0＜x≤1

；
（2）f（x）為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)f（x）=2ax-3x³在x∈（0，1]的單調(diào)性．
令f′（x）=2a-9x²=0，得x=

2a

3

＞1，
∴f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
則f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減；
（3）∵f（sin（x+

π

3

））＞f（cos（x+

π

3

）），f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴|tan（x+

π

3

）|＞1，
∴kπ+

π

4

＜|x+

π

3

|＜kπ+

π

2

，
∴x∈（kπ-

π

12

，kπ+

π

6

）∪（kπ-

5π

6

，kπ-

7π

12

）（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶性的綜合應(yīng)用，還考查了不等式的解法，涉及了分類討論思想和存在性問題等，比較綜合，屬于中檔題．