Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=

π

2

，PA⊥底面ABCD，且AD=CD=

1

2

AB=1，M是PB的中點．
（1）求證：直線CM∥平面PAD；
（2）若直線CM與平面ABCD所成的角為

π

4

，求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）取AB的中點N，由已知條件推導出MN∥平面PAD，CE∥平面PAD，從而得到平面CMN∥平面PAD，由此能證明CM∥平面PAD．
（2）由已知條件推導出CM與平面ABCD所成的角為∠MCN=

π

4

，△AMC和△BMC都是邊長為

2

的正三角形，取CM的中點G，則∠AGB為二面角A-MC-B的平面角，由此能求出二面角A-MC-B的余弦值．

解答： （1）證明：取AB的中點N，
則MN

∥

.

1

2

PA，∴MN∥平面PAD，
又四邊形ADCM正方形，∴CM

∥

.

AD，∴CE∥平面PAD，
∴平面CMN∥平面PAD，
∴CM∥平面PAD．（4分）
（2）解：由PA⊥底面ABCD，得MN⊥底面ABCD，
則CM與平面ABCD所成的角為∠MCN=

π

4

，
∴PA=2MN=2CN=2AD=2，
∴△AMC和△BMC都是邊長為

2

的正三角形，
取CM的中點G，則AG⊥CM，且BG⊥CM，（7分）
∴∠AGB為二面角A-MC-B的平面角，（9分）
在△AGB中，AG=BG=

6

2

，AB=2，
∴cos∠AGB=

AG2+BG2-AB2

2AG•BG

=-

1

3

．
∴二面角A-MC-B的余弦值為-

1

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．